2011年中招考試：《初中數(shù)學(xué)》競(jìng)賽訓(xùn)練題(4)
數(shù)學(xué)競(jìng)賽訓(xùn)練題五答案
一、選擇題：(每小題5分，共50分)
題號(hào)12345678910
答案CBADDABCCD
二、填空題：(每小題5分，共30分)
11. ; 12. ; 13. ; 14. 2或 ; 15. ; 16. 9.
三、解答題：(5大題，共70分)
17.(1)由 ，得 ------------3分
為銳角， ， -------5分
--------------------------6分
(2) ---8分
又 ， ，得 ， --------------------------10分
--------------------------12分
(若通過(guò) 得出 ，求出 ，
未舍去 ， 得兩解，扣2分.)
18.(1)設(shè)點(diǎn) ，由 得 ， ，
由 ，得 ， ------------------------4分
即 . ---------------------6分
(2)由(1)知 為拋物線 ： 的焦點(diǎn)， 為過(guò)焦點(diǎn) 的直線與 的兩個(gè)交點(diǎn).
�、佼�(dāng)直線 斜率不存在時(shí)，得 ， ， . ---8分
�、诋�(dāng)直線斜率存在且不為0時(shí)，設(shè) ，代入 得
.設(shè) ，
則 ，得 ， ----12分
(或 )
，此時(shí) ，由 得
。 ---------------14分
19.解法一：
(1)在 中， ， ，
∴ ，取 中點(diǎn) ，
， ，
在 中， ， ，又 均為銳角，∴ ， ---------------2分
，又 外， . ---------------4分
(2)∵平面 平面 ，∴ ，過(guò) 作 于 ，連結(jié) ，則 ，
為二面角 的平面角， ------------------------6分
易知 = ，∴ ，
二面角 的大小為 . ------------------------9分
(其它等價(jià)答案給同樣的得分)
(3) ， 點(diǎn)到平面 的距離，就是 到平面 的距離，-------------------------------11分
過(guò) 作 于 ，則 ， 的長(zhǎng)度即為所求， 由上 (或用等體積 求)----------------------------------14分
解法二：
如圖，建立圖示空間直角坐標(biāo)系.
則 ， ， ， ， .
(1) (2)利用 ，其中 分別為兩個(gè)半平面的法向量，
或利用 求解.
(3)利用 ，其中 為平面 的法向量。
20.(1) ，∴ ①
又 ，∴ ，即 ②
由①②得 ， .又 時(shí)，①、②不成立，故 .------2分
∴ ，設(shè)x1、x2是函數(shù) 的兩個(gè)極值點(diǎn)，則x1、x2是方程 =0的兩個(gè)根， ，
∴x1+x2= ，又∵ A、O、B三點(diǎn)共線， = ，
∴ =0，又∵x1≠x2，∴b= x1+x2= ，∴b=0. ----------------6分
(2) 時(shí)， ， -----------------------7分
由 得 ，可知 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減， . ---------------------9分
�、儆� 得 的值為1或2.(∵ 為正整數(shù)) -----------------11分
② 時(shí)，記 在 上切線斜率為2的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ，
則由 得 ，依題意得 ，
得 與 矛盾.
(或構(gòu)造函數(shù) 在 上恒正)
綜上，所求 的值為1或2. -----------------------14分
21.(1)∵ 為正數(shù)， ①， =1，∴ >0(n∈N*)，……… 1分
又 ②，①—②兩式相減得 ，
∴ 與 同號(hào)， ---------------------4分
∴ 對(duì)n∈N*恒成立的充要條件是 >0. ---------------------7分
由 = >0，得 >7 . ---------------------8分
(2)證法1：假設(shè)存在 ，使得對(duì)任意正整數(shù) 都有 .
則 ，則 >17 . --------------------9分
另一方面， = = ，---------11分
∴ ， ，……， ，
∴ ，∴ = ， ①
--------------------------------14分
當(dāng)m>16時(shí)，由①知， ，不可能使 對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，
--------------------------------15分
∴m≤16，這與 >17矛盾，故不存在m，使得對(duì)任意正整數(shù)n都有 .
--------------------------------16分
(2)證法2：假設(shè)存在m，使得對(duì)任意正整數(shù)n都有 .
則 ，則 >17 . --------------------9分
另一方面， ， ------------------11分
∴ ， ，……， ，
∴ ， ① -----------------14分
當(dāng)m>16時(shí)，由①知， ，不可能使 對(duì)任意正整數(shù)恒成立，
--------------------------15分
∴m≤16，這與 >17矛盾，故不存在m，使得對(duì)任意正整數(shù)n都有 。 -----------------------------16分
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