初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題：奇數(shù)和偶數(shù)
整數(shù)中，能被2整除的數(shù)是偶數(shù)，反之是奇數(shù)，偶數(shù)可用2k表示，奇數(shù)可用2k+1表示，這里k是整數(shù).
關(guān)于奇數(shù)和偶數(shù)，有下面的性質(zhì)：
(1)奇數(shù)不會(huì)同時(shí)是偶數(shù);兩個(gè)連續(xù)整數(shù)中必是一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù);
(2)奇數(shù)個(gè)奇數(shù)和是奇數(shù);偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是偶數(shù);任意多個(gè)偶數(shù)的和是偶數(shù);
(3)兩個(gè)奇(偶)數(shù)的差是偶數(shù);一個(gè)偶數(shù)與一個(gè)奇數(shù)的差是奇數(shù);
(4)若a、b為整數(shù)，則a+b與a-b有相同的奇數(shù)偶;
(5)n個(gè)奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，n個(gè)偶數(shù)的乘積是2n的倍數(shù);順式中有一個(gè)是偶數(shù)，則乘積是偶數(shù).
以上性質(zhì)簡(jiǎn)單明了，解題時(shí)如果能巧妙應(yīng)用，常常可以出奇制勝.
1.代數(shù)式中的奇偶問題
例1(第2屆"華羅庚金杯"決賽題)下列每個(gè)算式中，最少有一個(gè)奇數(shù)，一個(gè)偶數(shù)，那么這12個(gè)整數(shù)中，至少有幾個(gè)偶數(shù)?
□+□=□，□-□=□，
□×□=□□÷□=□.
解因?yàn)榧臃ê蜏p法算式中至少各有一個(gè)偶數(shù)，乘法和除法算式中至少各有二個(gè)偶數(shù)，故這12個(gè)整數(shù)中至少有六個(gè)偶數(shù).
2.與整除有關(guān)的問題
例4(首屆"華羅庚金杯"決賽題)70個(gè)數(shù)排成一行，除了兩頭的兩個(gè)數(shù)以外，每個(gè)數(shù)的3倍都恰好等于它兩邊兩個(gè)數(shù)的和，這一行最左邊的幾個(gè)數(shù)是這樣的：0，1，3，8，21，….問最右邊的一個(gè)數(shù)被6除余幾?
解設(shè)70個(gè)數(shù)依次為a1,a2,a3據(jù)題意有
a1=0,偶
a2=1奇
a3=3a2-a1,奇
a4=3a3-a2,偶
a5=3a4-a3,奇
a6=3a5-a4,奇
………………
由此可知：
當(dāng)n被3除余1時(shí)，an是偶數(shù);
當(dāng)n被3除余0時(shí)，或余2時(shí)，an是奇數(shù)，顯然a70是3k+1型偶數(shù)，所以k必須是奇數(shù)，令k=2n+1，則
a70=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4.
解設(shè)十位數(shù)，五個(gè)奇數(shù)位數(shù)字之和為a，五個(gè)偶數(shù)位之和為b(10≤a≤35,10≤b≤35)，則a+b=45，又十位數(shù)能被11整除，則a-b應(yīng)為0，11，22(為什么?).由于a+b與a-b有相同的奇偶性，因此a-b=11即a=28，b=17.
要排最大的十位數(shù)，妨先排出前四位數(shù)9876，由于偶數(shù)位五個(gè)數(shù)字之和是17，現(xiàn)在8+6=14，偶數(shù)位其它三個(gè)數(shù)字之和只能是17-14=3，這三個(gè)數(shù)字只能是2，1，0.
故所求的十位數(shù)是9876524130.
3.圖表中奇與偶
例8(第36屆美國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)將奇正數(shù)1，3，5，7…排成五列，按右表的格式排下去，1985所在的那列，從左數(shù)起是第幾列?(此處無(wú)表)
解由表格可知，每行有四個(gè)正奇數(shù)，而1985=4×496+1，因此1985是第497行的第一個(gè)數(shù)，又奇數(shù)行的第一個(gè)數(shù)位于第二列，偶數(shù)行的第一個(gè)數(shù)位于第四列，所以從左數(shù)起，1985在第二列.
4.有趣的應(yīng)用題
例12一個(gè)矩形展覽廳被縱橫垂直相交的墻壁隔成若干行、若干列的小矩形展覽室，每相鄰兩室間都有若干方形門或圓形門相通，僅在進(jìn)出展覽廳的出入口處有若干門與廳外相通，試證明：任何一個(gè)參觀者選擇任何路線任意參觀若干個(gè)展覽室(可重復(fù))之后回到廳外，他經(jīng)過的方形門的次數(shù)與圓形門的次數(shù)(重復(fù)經(jīng)過的重復(fù)計(jì)算)之差總是偶數(shù).
證明給出入口處展覽室記"+"號(hào)，凡與"+"相鄰的展覽室記"-"號(hào)，凡與"-"號(hào)相鄰的展覽室都記"+"號(hào)，如此則相鄰兩室的"+"、"-"號(hào)都不同.
一參觀者從出入口處的"+"號(hào)室進(jìn)入廳內(nèi)，走過若干個(gè)展覽室又回到入口處的"+"號(hào)室，他的路線是+-+-…+-+-，即從"+"號(hào)室起到"+"號(hào)室止，中間"-"、"+"號(hào)室為n+1(重復(fù)經(jīng)過的重復(fù)計(jì)算)，即共走了2n+1室，于是參觀者從廳外進(jìn)去參觀后又回到廳外共走過了2n+2個(gè)門(包括進(jìn)出出入口門各1次).設(shè)其經(jīng)過的方形門的次數(shù)是r次，經(jīng)過圓形門的次數(shù)是s，則s+r=2n+2為偶數(shù)，故r-s也為偶數(shù)，所以命題結(jié)論成立.
例13有一無(wú)窮小數(shù)A=0.a1a2a3…anan+1an+2…其中ai(i=1,2)是數(shù)字，并且a1是奇數(shù)，a2是偶數(shù)，a3等于a1+a2的個(gè)位數(shù)…，an+2是an+an+1(n=1,2…,)的個(gè)位數(shù)，證明A是有理數(shù).
證明為證明A是有理數(shù)，只要證明A是循環(huán)小數(shù)即可，由題意知無(wú)窮小數(shù)A的每一個(gè)數(shù)字是由這個(gè)數(shù)字的前面的兩位數(shù)字決定的，若某兩個(gè)數(shù)字ab重復(fù)出現(xiàn)了，即0.…ab…ab…此小數(shù)就開始循環(huán).
而無(wú)窮小數(shù)A的各位數(shù)字有如下的奇偶性規(guī)律：
A=0.奇偶奇奇偶奇奇偶奇……
又a是奇數(shù)可取1，3，5，7，9;
b是偶數(shù)可取0，2，4，6，8.
所以非負(fù)有序?qū)崝?shù)對(duì)一共只有25個(gè)是不相同的，在構(gòu)成A的前25個(gè)奇偶數(shù)組中，至少出現(xiàn)兩組是完全相同的，這就證得A是一循環(huán)小數(shù)，即A是有理數(shù).
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