《初中數(shù)學》競賽輔導17
多邊形的面積和面積變換
本講在初二幾何范圍內(nèi)，通過實例對平面圖形的面積和用面積變換解幾何題作些簡單介紹.所用知識不多，簡列如下：
(1) 全等形的面積相等;
(2) 多邊形的面積定理(三角形、梯形等，略);
(3) 等底等高的三角形，平行四邊形，梯形的面積相等(對梯形底相等應理解為兩底和相等);
(4) 等底(等高)的三角形，平行四邊形，梯形的面積比等于這底上的高(這高對應的底)的比.
以下約定以△ABC同時表示△ABC的面積.
1. 多邊形的面積
例1 (第34屆美國中學數(shù)學競賽題)在圖23-1的平面圖形中，邊AF與CD平行，BC與ED平行，各邊長為1，且∠FAB=∠BCD= ，該圖形的面積是( )
(A) (B)1 (C) (D) (E)2
分析 將這個圖形分解為若干個基本圖形——三角形，連BF、BE、BD得四個與△ABF全等的正三角形，進一步計算可得圖形面積為 .所以選(D).
例2 (第5屆美國數(shù)學邀請賽試題)如圖23-2五條線段把矩形ABCD分成了面積相等的四部分，其中XY=YB+BC+CZ=ZW=WD+DA+AX，而PQ平行于AB.如果BC=19cm，PQ=87cm，則AB的長度等于_________.
分析 如圖,延長PQ交AD、CB于E、F.由YB+BC+CZ=WD+DA+AX知a+c=b+d,又梯形PQWZ與梯形PQYX面積相等,故E、F分別為AD、CB的中點.
而SAXPWD=SBYQZC，∴EP=QF，設為e.
由SAXPWD=SPQZW 得
∴2e=106，
∴AB=2e+87=193.
例3.如圖23-3四邊形ABCD的兩邊BA和CD相交于G，E、F各為BD、AC的中點.試證：△EFG的面積等于四邊形ABCD面積的四分之一.
分析 注意到E、F各為BD、AC的中點，連結EA、EC和FD.則
如果能夠證明△EFG的面積等于四邊形AEFD的面積，問題即可解決.為此，取AD的中點P，連PE、PF，則PE∥GB，PF∥GC.于是△GEP=△AEP，△GFP=△DFP.而△PEF公用.∴△GEF=SAEFD.至此，問題得解.證明略.
2. 利用面積變換解幾何題
先看一個例子.
例4.以直角三角形ABC的兩直角邊AC、BC為一邊各向外側作正方形ACDE、BCGH，連結BE、AH分別交AC、BC于P、Q.求證:CP=CQ.
證明 (如圖23-4)顯然S△GCQ=S△HCQ，
∵HB∥AG，
∴S△GCQ=S△ACH=S△ABC.
同理,S△BDP=S△ABC.
∴S△AGQ=S△BDP,
∴CQ·AG=CP·BD.
∵AG=AC+GC
=DC+BC=BD，
∴CP=CQ.
此例是關于平面圖形中線段的等式，看似與面積無關，然而我們卻利用圖形之間面積的等量關系達到了證明的目的.這種不考慮圖形的形狀只從圖形的面積關系入手來研究圖形的度量關系和位置關系的方法即所謂面積變換.
例5 (第37屆美國中學數(shù)學競賽題)圖23-5中,ABCDE是正五邊形,AP、AQ和AR是由A向CD、CB和DE的延長線上所引的垂線.設O是正五邊形的中心,若OP=1,則AO+AQ+AR等于( ).
(A)3 (B)1+ (C)4 (D)2+ (E)5
分析 因題設中AP、AQ、AR分別與CD、CB、DE垂直，這就便于利用面積作媒介.注意到
即 由CD=BC=DE，
則AP+AQ+AR=5·OP
故AO+AQ+AR=4.應選(C).
例6 (第37屆美國中學數(shù)學競賽題)不等邊三角形ABC的兩條高的長度分別為4和12.若第三條高也為整數(shù)，那么它的長度最大可能是( ).
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
(E)不同于(A)-(D)的答案
解 設△ABC第三邊上的高為h，面積為S，則該三角形的三邊可表示為 顯見 > .據(jù)“三角形兩邊之和大于第三邊”有 + > ， + > .
解得3
例7 圖23-6中，已知AB是直角三角形ABC的斜邊，在射線AC、BC上各取一點 、 ，使 P、Q是△ABC內(nèi)兩點，如果P，Q到△ABC各邊的距離之和相等，則PQ∥ ;反之亦然.
證明 設P、Q到△ABC各邊的距離之和分別為S(P)，S(Q).連PA、PB、P 、P ，不難發(fā)現(xiàn)△APB+△AP +△ PB-△ P =△ABC-△ C(定值).
于是
= 同理， 顯然，當S(P)=S(Q)時， ，
∴PQ∥ 反之，當PQ∥ 時， ∴S(P)=S(Q).
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中央音樂學院鼓浪嶼鋼琴學校是廈門市人民政府和中央音樂學院于2006年共同舉辦的公立藝術類中等職業(yè)學校。
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1. 長樂職業(yè)中專學校是公立的學校嗎?學校的辦學效益如何? 長樂職業(yè)中專學校是長樂區(qū)政府精心打造的全日制公辦職業(yè)中專學校，是國家中等職業(yè)教育改革發(fā)展示范學校、國家級重點中等職業(yè)學校、福建省示范性現(xiàn)代職業(yè)學校、福建省“雙高校”立項建設學校。近年來，學校全面貫徹黨的教育方針，落實立德樹人根本任務，堅持“質量立校、人才強�！钡陌l(fā)展戰(zhàn)略，學�；A能力、育人質量、服務能力、示范作用、社會效應顯著提升，實現(xiàn)了辦學、治校、育人的跨越式發(fā)展，在福建乃至全國產(chǎn)生了較大影響。
長樂四中2025年高一招生問答
新學期，新的校園環(huán)境 在一片新的氣象中 我校的招生計劃即將開始 為了讓您更好地了解我們的招生情況 我們將會為您詳細介紹本次的招生情況 我們期待你的加入
明溪縣職業(yè)中學2025年學校答疑
1.問：閩侯二中2025年高一招生計劃如何? 答：招收16個教學班。其中：1-15班每班54人，共招810人(含體育特長生12人);其中：正取生243人，定向生567人;另外招收1個美術特色班，人數(shù)30人，獨立成班。
考生們注意!福州、漳州、泉州中考查分時間已公布一起來看——
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2026年福建省中考作文題●以下作文題為考生描述，一旦獲得更加準確的消息，將在留言區(qū)的置頂處告訴大家。今年中考作文給了一段文學類文本，題目大體是把“應該的&rdqu
6月21日上午8時30分，2026年福建省中考順利開考。全省報考人數(shù)共計112萬人，其中，九年級52萬人、八年級60萬人。全省共設90個考區(qū)、657個考點、20656個考場，共抽調考務人員
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2026年泉州市初中畢業(yè)升學考試(以下簡稱“中考”)將于6月21日—23日舉行。全市初三報名中考考生總數(shù)12.35萬人，其中中心市區(qū)報考考生1.87萬人。泉州中考共設13個考區(qū)118個考點，具體考點詳見表格。
2026年福建中考進入倒計時，考生及家長普遍關注：全省各設區(qū)市中考分數(shù)線是否存在顯著差異？不同區(qū)域考生升學難度如何？本文基于2024-2025年官方數(shù)據(jù)及教育政策，梳理福建九地市普高錄取控制線差異，為備考家庭提供科學參考。
福建省中考錄取政策因地域教育資源、人口基數(shù)等因素呈現(xiàn)差異化特征。以莆田、福州兩地為例，2025年中考錄取分數(shù)線差異顯著，折射出教育資源配置與招生政策的深層邏輯。本文基于兩地最新數(shù)據(jù)，為2026屆考生及家長提供科學參考。
隨著福建省職業(yè)教育體系的不斷完善，五年制高職已成為銜接中等教育與高等教育的關鍵路徑。本文基于近三年政策數(shù)據(jù)，為2026屆考生及家長梳理錄取規(guī)則與趨勢，助力科學規(guī)劃升學路徑。
隨著福建省職業(yè)教育改革持續(xù)深化，中本貫通“3+4”模式憑借其“中職+本科”無縫銜接的優(yōu)勢，成為眾多學生及家長關注的升學路徑。2026年錄取分數(shù)線雖尚未公布，但結合2024-2025年政策趨勢與錄取數(shù)據(jù)，可梳理出關鍵預測方向與備考策略。
2024年泉州市普通高中最低錄取控制線為 482分。這一分數(shù)線是全市中考考生數(shù)前一定比例（通常為70%左右）的最低成績劃定的，作為考生報考普通高中的最低門檻。
廈門市的綜合高中班是在中職學校開設的普高課程班級，其錄取分數(shù)線通常低于普通高中，但高于部分民辦普高。根據(jù)2024年的錄取情況，廈門三所公辦中職學校的綜合高中班最低投檔分如下：
2024年廈門市中考定向生最低錄取分數(shù)需根據(jù)招生學校普通生最低投檔線確定，最多可降至該線下25分，但實際降幅因校而異。具體分數(shù)線如下：
2024年廈門市中考普高切線及普通高中最低投檔線情況如下：
福州五年制高職學校的最低錄取分數(shù)線通常根據(jù)福州市普高（含綜合高中班）最低投檔控制線下調一定分數(shù)劃定。例如，2024年福州五年制高職學校的最低錄取分數(shù)線為441.5分，這一分數(shù)線是根據(jù)福州市普高（含綜合高中班）最低投檔控制線501.5分下調60分劃定的。
福州市3+4中本貫通有哪些學校？錄取分數(shù)線多少？
閩公網(wǎng)安備35010202002010號