培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng) 巧解中考綜合題
□黃浦區(qū)教師進(jìn)修學(xué)院 李建國
2010年中考數(shù)學(xué)試卷注意到結(jié)合高中招生的選擇性要求，精心設(shè)置了一些以能力立意的綜合性試題，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力，考查正確、靈活地利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力�？疾椴牧吓c教材有關(guān)，但與訓(xùn)練量無關(guān)，這也是一種數(shù)學(xué)教學(xué)導(dǎo)向。
縱觀近五年的上海市數(shù)學(xué)中考試題和每年的各區(qū)數(shù)學(xué)二模試卷，我們不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)綜合題的重點(diǎn)都放在高中繼續(xù)學(xué)習(xí)的函數(shù)問題上。此類題在中考中往往有起點(diǎn)不高、但要求較全面的特點(diǎn)。常常以數(shù)與形、代數(shù)計(jì)算與幾何證明、相似三角形和四邊形的判定與性質(zhì)、畫圖分析與列方程求解、勾股定理與函數(shù)、圓和三角比相結(jié)合的綜合性試題。同時(shí)考查學(xué)生初中數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)思想方法，如數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想和幾何運(yùn)動(dòng)變化等數(shù)學(xué)思想。此類題融入了動(dòng)態(tài)幾何的變和不變，對(duì)給定的圖形施行平移、翻折和旋轉(zhuǎn)的位置變化，然后在新的圖形中分析有關(guān)圖形之間的關(guān)系。
這些題目的特點(diǎn)是：注重考查學(xué)生的實(shí)驗(yàn)、猜想、證明的探索能力。解題靈活多變，能夠考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，有一定難度，但上手還是容易的。此類題還常常會(huì)以幾個(gè)小問題的形式出現(xiàn)，相當(dāng)于幾個(gè)臺(tái)階，這種恰當(dāng)?shù)匿亯|給了考生較寬的入口，有利于考生發(fā)揮正常水平。
(一)函數(shù)型綜合題：
是先給定直角坐標(biāo)系和幾何圖形，求(已知)函數(shù)的解析式(即求解前已知函數(shù)的類型)，然后進(jìn)行圖形的研究，求點(diǎn)的坐標(biāo)或研究圖形的某些性質(zhì)。
初中已知函數(shù)有①一次函數(shù) (包括正比例函數(shù))和常值函數(shù)，它們所對(duì)應(yīng)的圖像是直線；②反比例函數(shù)，它所對(duì)應(yīng)的圖像是雙曲線；③二次函數(shù)，它所對(duì)應(yīng)的圖像是拋物線。求已知函數(shù)的解析式主要方法是待定系數(shù)法，關(guān)鍵是求點(diǎn)的坐標(biāo)，而求點(diǎn)的坐標(biāo)基本方法是幾何法(圖形法)和代數(shù)法(解析法)。
(二)幾何型綜合題：
是先給定幾何圖形，根據(jù)已知條件進(jìn)行計(jì)算，然后有動(dòng)點(diǎn)(或動(dòng)線段)運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)產(chǎn)生線段、面積等的變化，求對(duì)應(yīng)的(未知)函數(shù)的解析式(即在沒有求出之前，不知道函數(shù)解析式的形式是什么)和求函數(shù)的定義域，最后根據(jù)所求的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行探索研究，
探索研究的一般類型有：①在什么條件下三角形是等腰三角形、直角三角形；②四邊形是菱形、梯形等；③探索兩個(gè)三角形滿足什么條件相似；④探究線段之間的位置關(guān)系等；⑤探索面積之間滿足一定關(guān)系求x的值等；⑥直線(圓)與圓的相切時(shí)求自變量的值等。
求未知函數(shù)解析式的關(guān)鍵是列出包含自變量和因變量之間的等量關(guān)系(即列出含有x、y的方程)，變形寫成y＝f(x)的形式。一般有直接法(直接列出含有x和y的方程)和復(fù)合法(列出含有x和y和第三個(gè)變量的方程，然后求出第三個(gè)變量和x之間的函數(shù)關(guān)系式，代入消去第三個(gè)變量，得到y(tǒng)＝f(x)的形式)，當(dāng)然還有參數(shù)法，這個(gè)已超出初中數(shù)學(xué)教學(xué)要求。
找等量關(guān)系的途徑在初中主要有利用勾股定理、平行線截得比例線段、三角形相似、面積相等……求定義域主要是尋找圖形的特殊位置 (極限位置)和根據(jù)解析式求解。
而最后的探索問題千變?nèi)f化，但少不了對(duì)圖形的分析和研究，用幾何和代數(shù)的方法求出x的值。
今年的數(shù)學(xué)綜合題啟示我們?cè)谶M(jìn)行綜合思維的時(shí)候要做到：數(shù)形結(jié)合記心頭，大題小作來轉(zhuǎn)化，潛在條件不能忘，化動(dòng)為靜多畫圖，方程函數(shù)是工具，計(jì)算推理嚴(yán)謹(jǐn)，創(chuàng)新品質(zhì)得提高。
2010年的綜合題沒有了進(jìn)一步的探究題，沒有翹尾巴的難度，試題設(shè)計(jì)保留較多的解題途徑，使分析問題、解決問題的基本功和靈活性都得到較充分的考查，這樣既有利于提升整卷效度，又便于控制試題及整卷的難度，有利于提升對(duì)于課堂教學(xué)及復(fù)習(xí)的正面指導(dǎo)意義。它的意義很明確就是要指導(dǎo)初中數(shù)學(xué)教學(xué)不要把試題無限制加深、加難，要把教學(xué)的重點(diǎn)放在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)上。
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