2011年中招考試：《初中數(shù)學(xué)》競(jìng)賽訓(xùn)練題(2)
數(shù)學(xué)競(jìng)賽訓(xùn)練題三答案
一、選擇題
1.由遞推式得：3(an+1-1)=-(an-1)，則{an-1}是以8為首項(xiàng)，公比為- 的等比數(shù)列，∴Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+…+(an-1)= =6-6×(- )n，∴|Sn-n-6|=6×( )n< ，得：3n-1>250，∴滿足條件的最小整數(shù)n=7，故選C。
2.設(shè)正三棱錐P-ABC中，各側(cè)棱兩兩夾角為α，PC與面PAB所成角為β，則VS-PQR= S△PQR·h= PQ·PRsinα)·PS·sinβ。另一方面，記O到各面的距離為d，則VS-PQR=VO-PQR+VO-PRS+VO-PQS,
S△PQR·d= S△PRS·d+ S△PRS·d+ S△PQS·d= PQ·PRsinα+ PS·PRsinα+ PQ·PS·sinα，故有：PQ·PR·PS·sinβ=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS)，即 =常數(shù)。故選D。
3.xn+1= ，令xn=tanαn，∴xn+1=tan(αn+ ), ∴xn+6=xn, x1=1，x2=2+ , x3=-2- , x4=-1, x5=-2+ , x6=2- , x7=1，……，∴有 。故選A。
4.設(shè)向量 =(x, y)，則 ，
即 ，即 . ∴ 或 ，∴S△AOB= =1。
5.設(shè)P(x1, y1)，Q(x, y)，因?yàn)橛覝?zhǔn)線方程為x=3，所以H點(diǎn)的坐標(biāo)為(3, y)。又∵HQ=λPH，所以 ，所以由定比分點(diǎn)公式，可得： ，代入橢圓方程，得Q點(diǎn)軌跡為 ，所以離心率e= 。故選C。
6.由log x=logb(4x-4)得：x2-4x+4=0，所以x1=x2=2，故C=2A，sinB=2sinA，因A+B+C=180°，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A，∴3sinA-4sin3A=2sinA，∵sinA(1-4sin2A)=0，又sinA≠0，所以sin2A= ，而sinA>0，∴sinA= 。因此A=30°,B=90°,C=60°。故選B。
二、填空題
7. 。 由對(duì)稱性只考慮y≥0，因?yàn)閤>0，∴只須求x-y的最小值，令x-y=u，代入x2-4y2=4，有3y2-2uy+(4-u)2=0，這個(gè)關(guān)于y的二次方程顯然有實(shí)根，故△=16(u2-3)≥0。
8.46個(gè)。abcd中恰有2個(gè)不同數(shù)字時(shí)，能組成C =6個(gè)不同的數(shù)。abcd中恰有3個(gè)不同數(shù)字時(shí)，能組成 =16個(gè)不同數(shù)。abcd中恰有4個(gè)不同數(shù)字時(shí)，能組成A =24個(gè)不同數(shù)，所以符合要求的數(shù)共有6+16+24=46個(gè)。
9. 解考慮M的n+2元子集P={n-l，n，n+1，…，2n}.
P中任何4個(gè)不同元素之和不小于(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2，所以k≥n+3.
將M的元配為n對(duì)，Bi=(i，2n+1-i)，1≤i≤n.
對(duì)M的任一n+3元子集A，必有三對(duì) 同屬于
A(i1、i 2、i 3兩兩不同).
又將M的元配為n-1對(duì)，C i (i，2n-i)，1≤i≤n-1.
對(duì)M的任一n+3元子集A，必有一對(duì) 同屬于A，
這一對(duì) 必與 中至少一個(gè)無公共元素，這4個(gè)元素互不相同，且和為2n+1+2n=4n+1,最小的正整數(shù)k=n+3
10. 。①若t2-4>0，即t<-2或t>2，則由 >x(|x|≤1)恒成立，得 , t+1>t2-4, t2-t-5<0解得 ，從而 -t2+4; t2+t-3>0，解得：t< 或t> ，從而
11.23.。
12.1或-2。令x=y=0得f(0)=-1;令x=y=-1，由f(-2)=-2得，f(-1)=-2，又令x=1, y=-1可得f(1)=1，再令x=1，得f(y+1)=f(y)+y+2 ①，所以f(y+1)-f(y)=y+2，即y為正整數(shù)時(shí)，f(y+1)-f(y)>0，由f(1)=1可知對(duì)一切正整數(shù)y，f(y)>0，因此y∈N*時(shí)，f(y+1)=f(y)+y+2>y+1，即對(duì)一切大于1的正整數(shù)t，恒有f(t)>t，由①得f(-3)=-1, f(-4)=1。
下面證明：當(dāng)整數(shù)t≤-4時(shí)，f(t)>0，因t≤-4，故-(t+2)>0，由①得：f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0，
即f(-5)-f(-4)>0，f(-6)-f(-5)>0，……，f(t+1)-f(t+2)>0，f(t)-f(t+1)>0
相加得：f(t)-f(-4)>0，因?yàn)椋簍≤4，故f(t)>t。綜上所述：滿足f(t)=t的整數(shù)只有t=1或t=2。
三、解答題
13.解：因?yàn)?a+b)2+(a+b+4c)2=(a+b)2+[(a+2c)+(b+2c)]2≥(2 )2+(2 +2 )2=
4ab+8ac+8bc+16c 。所以 ≥ 。
當(dāng)a=b=2c>0時(shí)等號(hào)成立。故k的最小值為100。
14.以 為x軸，點(diǎn)P到 的垂線為y軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)Q的坐標(biāo)為(x, 0)，點(diǎn)A(k, λ)，⊙Q的半徑為r，則：M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ= =1+r。所以x=± , ∴tan∠MAN= ，令2m=h2+k2-3，tan∠MAN= ，所以m+r k =nhr，∴m+(1-nh)r= ，兩邊平方，得：m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2，因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)r≥1，上式恒成立，所以 ，由(1)(2)式，得m=0, k=0，由(3)式，得n= 。由2m=h2+k2-3得h=± ，所以tan∠MAN= =h=± 。所以∠MAN=60°或120°(舍)(當(dāng)Q(0, 0), r=1時(shí)∠MAN=60°)，故∠MAN=60°。
15.(1)證：依題設(shè)，對(duì)任意x∈R，都有f(x)≤1�！遞(x)=-b(x- )2+ ，∴f( )= ≤1，∵a>0, b>0, ∴a≤2 。
(2)證：(必要性)，對(duì)任意x∈[0, 1]，|f(x)|≤1 -1≤f(x)據(jù)此可推出-1≤f(1)即a-b≥-1，∴a≥b-1。對(duì)任意x∈[0, 1]，|f(x)|≤1 f(x)≤1，因?yàn)閎>1，可推出f( )≤1。即a· -≤1，∴a≤2 ，所以b-1≤a≤2 。
(充分性)：因b>1, a≥b-1，對(duì)任意x∈[0, 1]，可以推出：ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x
≥-1，即：ax-bx2≥-1;因?yàn)閎>1，a≤2 ，對(duì)任意x∈[0, 1]，可推出ax-bx2≤2 -bx2≤1，即ax-bx2≤1，∴-1≤f(x)≤1。
綜上，當(dāng)b>1時(shí)，對(duì)任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要條件是：b-1≤a≤2 。
(3)解：因?yàn)閍>0, 0
f(x)=ax-bx2≥-b≥-1，即f(x)≥-1;
f(x)≤1 f(1)≤1 a-b≤1，即a≤b+1;
a≤b+1 f(x)≤(b+1)x-bx2≤1，即f(x)≤1。
所以，當(dāng)a>0, 0
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